$ \DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh} \DeclareMathOperator{\arcsinh}{arcsinh} \DeclareMathOperator{\rank}{rank} \DeclareMathOperator{\rot}{rot} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\diver}{div} $

Eulerの方程式

連続体力学における運動方程式ともいえる Euler の方程式を立てていきたいと思います。

1Lagrange 的な発想から

連続体力学における運動方程式といっても結局は、Newton の運動方程式を利用することになります。
Newton の運動方程式は質点の運動方程式ですので、的な考え方をする Euler よりも、粒子に着目する Lagrange 的な発想の方がうまくいきそうですね。 なので、まずはこちらの発想を用いて運動方程式を立ててみます。

1.1準備

まず、空間上に微小な領域 $\Delta V$ をとります。 今は Lagrange 的な見方をしているので、この $\Delta V$ は時間とともに連続体の移動に沿って移動し、形を変えていくことに注意してください。
Newton の運動方程式は、運動量を $p^i$、質点に働く力を $f^i$ として、
\begin{equation} \dot{p}^i = f^i \end{equation}
(1)
と書けました。 なので $p^i$ および $f^i$ をまず求めましょう。

1.2運動量

運動量の定義は (質量) × (速度) なので、
\begin{equation} p^i = \rho \Delta V u^i \end{equation}
(2)
となります。

1.3

一方、 $\Delta V$ にかかる力は、(体積力) + (面積力) ですが、面積力の方は Gauss の発散定理から、
\begin{equation} \int_{\Delta S} \sigma^i_{\ j} n^j dS = \int_{\Delta V} \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} dV \end{equation}
(3)
がいえるので、
\begin{equation} f^i = \rho K^i \Delta V + \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \Delta V \end{equation}
(4)
となります。

1.4運動量の時間微分

さてさて、続いては $\dot{p}^i$ を求めたいのですが、いまは Euler ではなく Lagrange 的な発想でやっているので[1]、Euler 微分(普通の偏微分)ではなく、 Lagrange 微分をしなければなりません。
\begin{equation} \frac{Dp^i}{Dt} = \frac{D}{Dt}(\rho \Delta V u^i) \end{equation}
(5)
ところで、いま、 $\rho$$\Delta V$ も時間とともに変化してしまいますが、見ている部分の総質量は変わらないはずです。つまり、
\begin{equation} \rho \Delta V = \text{(const.)} \end{equation}
(6)
となるはずです[2]
これを考えると、(5)式は、
\begin{equation} \frac{Dp^i}{Dt} = \rho \Delta V \frac{Du^i}{Dt} \end{equation}
(7)
と書けます。

1.5完成!

さぁ、ここまできたら上の式をつないであげるだけです。
\begin{equation} \frac{Dp^i}{Dt} = f^i \end{equation}
(8)
\begin{equation} \rho \Delta V \frac{Du^i}{Dt} = \rho K^i \Delta V + \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \Delta V \end{equation}
(9)
\begin{equation} \therefore \frac{Du^i}{Dt} = K^i + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \end{equation}
(10)
はい、終わり。
最後に得られた方程式、
\begin{equation} \frac{Du^i}{Dt} = K^i + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \end{equation}
(11)
を、 Euler の方程式(Euler equations)といいます。

[1]というか Newton の運動方程式が Lagrange の考え方を想定している
[2]というか、そうなるように $\Delta V$ などをとっている、ともいえますねw

2Euler 的発想から

続いて Euler 的な発想から Euler の方程式を導きたいと思います。

2.1準備

今回も微小な領域 $\delta V$[1] をとりますが、Euler ですので、前回と違い、時間が経ったとしても全く同じ部分を指すこととします。 つまり空間内の固定された微小な領域 $\delta V$ を考えます。
さて、Newton の運動方程式は、
\begin{equation} \dot{p}^i = f^i \end{equation}
(12)
でした。 しかぁーし、今回はこれは役に立ちません。
なぜなら、今回見ている領域は粒子とともに移動するものではなく、空間に固定された領域なので、時間が経てば連続体の他の部分が自由に出入りしてしまうためです。 なので Newton の運動方程式ではちょっとダメっぽいです。
それではどうするのかというと、 $\Delta t$ 秒間での領域 $\delta V$ 内の運動量の変化を考えることにします。 時間が経てば $\delta V$ 内の総運動量は一般的にはもちろん変化しますが、その変化量は、
(運動量の変化量) = ($\delta V$ 内に流入 or 流出した粒子が持つ運動量[2]) + (外力[3]からもらった力積)
となるはずです[4]
いちいち日本語で書くのは煩わしいので、
  • $\Delta p^i$ = 運動量の変化量
  • $\Delta \pi^i$ = 流入 or 流出した粒子が持つ運動量
  • $\Delta I^i$ = 外力からもらった力積
とおいておきます。
この記号を使って上の黒枠内を書き直すと、
\begin{equation} \Delta p^i = \Delta \pi^i + \Delta I^i \end{equation}
(13)
でしょうか。

2.2運動量の変化量

まずは $\Delta p^i$ について。
運動量は、前半でやったように、
\begin{equation} p^i = \rho \delta V u^i \end{equation}
(14)
なので、 $\Delta t$ 秒間での変化量は、
\begin{eqnarray*} \Delta p^i & = & \frac{\partial p^i}{\partial t} \Delta t \\ & = & \frac{\partial}{\partial t}(\rho \delta V u^i) \Delta t \\ & = & \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) \delta V \Delta t \end{eqnarray*}
(15)
となります。 最後の式変形では $\delta V$ は時間によって変化しないことを使いました[5]

2.3流入・流出した粒子の持つ運動量

次。 $\Delta \pi^i$ を求めましょう。
面要素 $dS$$\Delta t$ 秒間に通過する粒子の質量は、
\begin{equation} \rho \times (u^j n_j \Delta t) dS \end{equation}
(16)
で表されるのはいいでしょうか。 図解するとこんな感じ。
面要素dSを通過する粒子の質量
運動量は (質量) $\times$ (速度) なので、(16)式に速度 $u^i$ をかけて、
\begin{equation} u^i \rho u^j n_j \Delta t dS \end{equation}
(17)
です。 $\delta V$ から失われた運動量は、これを積分することで、
\begin{equation} \int_{\delta S} u^i \rho u^j n_j \Delta t dS = \left( \int_{\delta S} \rho u^i u^j n_j dS \right) \Delta t \end{equation}
(18)
となります。
$\Delta \pi^i$ は領域 $\delta V$流入した運動量なので[6]、上の式に $-1$ をかけて、
\begin{equation} \Delta \pi^i = - \left( \int_{\delta S} \rho u^i u^j n_j dS \right) \Delta t \end{equation}
(19)
です。
ところで、カッコ内の積分は Gauss の発散定理を使えば、
\begin{equation} \int_{\delta S} \rho u^i u^j n_j dS = \int_{\delta V} \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) dV \end{equation}
(20)
と直すことができるので、(19)式は、
\begin{equation} \Delta \pi^i = - \left( \int_{\delta V} \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) dV \right) \Delta t \end{equation}
(21)
と書けます。 これはさらに、 $\delta V$ が微小な領域であることから、
\begin{equation} \Delta \pi^i = - \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) \delta V \Delta t \end{equation}
(22)
と書いてもいいんじゃないでしょうか。

2.4もらった力積

最後。 $\Delta I^i$ を計算します。 といっても、力は (体積力) + (面積力) な訳ですから、何も迷うことなく、
\begin{eqnarray*} \Delta I^i & = & \left( \int_{\delta V} \rho K^i dV + \int_{\delta S} \sigma^i_{\ j} n^j dS \right) \Delta t \\ & = & \left( \int_{\delta V} \rho K^i dV + \int_{\delta V} \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} dV \right) \Delta t \hspace{1em} (\therefore\text{Gauss's divergence theorem}) \\ & = & \left( \int_{\delta V} \left( \rho K^i + \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \right) dV \right) \Delta t \\ \end{eqnarray*}
(23)
と計算できます。
$\delta V$ は微小ですから、上の方でやったのと同じように、
\begin{equation} \Delta I^i = \left( \rho K^i + \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \right) \delta V \Delta t \end{equation}
(24)
と書いてもいいでしょう。

2.5完成!

ここまできたらあとは(13)式に代入するだけですね。
\begin{equation} \Delta p^i = \Delta \pi^i + \Delta I^i \end{equation}
(25)
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) \delta V \Delta t = - \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) \delta V \Delta t + \left( \rho K^i + \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \right) \delta V \Delta t \end{equation}
(26)
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) = - \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) + \left( \rho K^i + \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \right) \\ \end{equation}
(27)
\begin{equation} \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) \right) = K^i + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \\ \end{equation}
(28)
最後の方では Lagrange 的な考え方でやって導いた Euler の方程式、(11)式を意識して変形してみました[7]
で、(11)式と同じになるはずなんですけど、左辺が全然[8]複雑ですね。
\begin{equation} \frac{D u^i}{Dt} =^{\!\!\!\!?} \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) \right) \end{equation}
(29)
となってくれれば一致するのですが。 うーん。
とりあえず Lagrange 微分を展開してみましょうか。
\begin{equation} \frac{\partial u^i}{\partial t} + u^j \frac{\partial u^i}{\partial x^j} =^{\!\!\!\!?} \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) \right) \end{equation}
(30)
右側(right hand side; RHS)を積の微分公式を使って展開すればもっと近くなりそうです。
\begin{eqnarray*} (\text{RHS}) & = & \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial t}(\rho u^i) + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^i u^j) \right) \\ & = & \frac{1}{\rho} \left( \left( \rho \frac{\partial u^i}{\partial t} + u^i \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) + \left( \rho u^j \frac{\partial u^i}{\partial x^j} + u^i \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^j) \right) \right) \\ & = & \frac{\partial u^i}{\partial t} + u^j \frac{\partial u^i}{\partial x^j} + \frac{u^i}{\rho} \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^j) \right) \\ \end{eqnarray*}
(31)
惜しいですね。 第三項が $0$ になってくれれば目的の式と同じになります。
しかし、
\begin{equation} \frac{u^i}{\rho} \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^j) \right) \end{equation}
(32)
これをいくら眺めても $0$ になってくれる気配がありません。 どうしたことか…。 でもこの式のカッコ内、どこかで見たことがありませんか? 連続の方程式がこんな形をしていましたね。
\begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \diver (\rho \bm{u}) = 0 \end{equation}
(33)
\begin{equation} \text{i.e.} \hspace{1em} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^j}(\rho u^j) = 0 \end{equation}
(34)
さて、これで無事(28)式の左辺が $\frac{Du^i}{Dt}$ と等しいことを示せたので、(28)式は、
\begin{equation} \frac{Du^i}{Dt} = K^i + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma^i_{\ j}}{\partial x_j} \\ \end{equation}
(35)
となり、前半で求めた Euler の方程式と一致しました。

[1]なんか、変化量を表すのか、微小な量を表すのか、ごっちゃになりそうなので微小な量は $\delta$ で表すことにします
[2]「流入(流出)した粒子によって持ち込まれた(持ち出された)運動量」と読み替えてもいいです
[3]「外力」と書くとアレですが、面積力も含みます
[4]証明とかよく分かりませんが (^^
[5]Euler 的な考え方でやっているので $\delta V$ は空間上の固定された領域でしたね
[6]いや、明示的に書いてないけど、そういう意味で書いていたのは分かりますよねw
[7]「チートだっ!」とか言わないこと!
[8]「全然」の後には否定語句が来なければならないので、間違った日本語です。直す気はありません。ええ、ありませんとも。コンパイラ的には syntax error でしょうか