$ \DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh} \DeclareMathOperator{\arcsinh}{arcsinh} \DeclareMathOperator{\rank}{rank} \DeclareMathOperator{\rot}{rot} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\diver}{div} $

変形テンソル

弾性体は変形に応じた応力がかかる物体です。 従って、まずは変形について考察していきましょう。

1弾性体とは

弾性体(elastic body)とは、変形を加えると元に戻ろうとするような応力が発生するような物体のことで、変形と応力は一意的な関係式で結ばれているものを指します[1]
弾性体においては変形と応力が密接な関係にあるため[2]物体の変形を考えることが重要になります。
そこでまずは弾性体の変形を表す物理量である変形テンソルを紹介していきます。

[1]弾性体の定義は人によって結構違ったりしますが、このサイトでは上に挙げた定義を採用します
[2]というか、そう仮定しているため

2変形テンソル

弾性体の変形
それでは弾性体の変形を考えましょう。
$\bm{x}$$\bm{r}$ だけ動いたとします。 $\bm{r}$変位ベクトル(displacement vector)といいます。 また、$\Delta x \ll 1$ として、点 $\bm{x} + \Delta \bm{x}$$\bm{r} + \Delta \bm{r}$ だけ動いたとしましょう。
このとき二点 $\bm{x}, \bm{x} + \Delta \bm{x}$$\Delta \bm{r}$変形(deformation)を起こしています。
さて、変位 $\bm{r}$ は位置 $\bm{x}$ の函数と考えることができます。
\begin{equation} \bm{r} = \bm{r}(\bm{x}) \end{equation}
(1)
従って、変形 $\Delta \bm{r}$ は、
\begin{equation} \Delta \bm{r} = \bm{r}(\bm{x} + \Delta\bm{x}) - \bm{r}(\bm{x}) \end{equation}
(2)
と書くことができます。 ここで $\Delta \bm{r}$ の一次近似をとると、
\begin{equation} \Delta \bm{r} = \left(\begin{matrix} \sum_i \frac{\partial r_1}{\partial x_i} \Delta x_i \\ \sum_i \frac{\partial r_2}{\partial x_i} \Delta x_i \\ \sum_i \frac{\partial r_3}{\partial x_i} \Delta x_i \\ \end{matrix}\right) \end{equation}
(3)
となります。 見にくいですが、これをテンソルを用いて書くと、
\begin{equation} \Delta r^i = \frac{\partial r^i}{\partial x^j} \Delta x^j \end{equation}
(4)
となります。 スッキリ。 この式の右辺を、
\begin{equation} \\{D^i}_j = \frac{\partial r^i}{\partial x^j} \end{equation}
(5)
とおいて、この ${D^i}_j$変形テンソル(deformation tensor)といいます。
左側の添字 $i$ は変形($\Delta r^i$)を、右側の添字 $j$ は注目している位置のずれ($\Delta x^j$)を表しています。 逆にしないように注意しましょう。

3ひずみテンソル

突然ですが、変形テンソル ${D^i}_j$ を対称部分と反対称部分に分けてみます[1][2]
\begin{equation} \begin{cases} {\epsilon^i}_j \ = \frac{1}{2}({D^i}_j + {D^i}_j) \\ {\Omega^i}_j = \frac{1}{2}({D^i}_j - {D^i}_j) \end{cases} \end{equation}
(6)
まずは対称部分 ${\epsilon^i}_j$ について見ていきましょう。
${\epsilon^i}_j$ は対称テンソルなので独立な成分は 6 個ですが、それをさらに対角成分と非対角成分に分けてみていきましょう。

3.1対角成分

まずは対角成分。
とりあえず ${\epsilon^1}_1$ のみ値があり、その他の成分は全部 0 であるとします。 簡単のため $\epsilon := {\epsilon^1}_1$ とおいておきます。
この下で変形テンソル ${D^i}_j$ はどうなるかというと、${D^i}_j$ は対称部分と反対称部分の和で表される、
\begin{equation} \\{D^i}_j = {\epsilon^i}_j + {\omega^i}_j \end{equation}
(7)
ので、変形テンソルは、${D^1}_1 = \epsilon$ で、その他の成分はすべて 0 になります。
従って、このときの変形ベクトルは(4)式から、
\begin{equation} \Delta r^i = {D^i}_j \Delta x^j \end{equation}
(8)
\begin{equation} \text{i.e.} \begin{cases} \Delta r^1 = \epsilon \Delta x^1 \\ \Delta r^2 = \Delta r^3 = 0 \\ \end{cases} \end{equation}
(9)
となります。 これを図にするとこんな感じ。
ひずみテンソルの対角成分
この図を見て分かるとおり、${\epsilon^1}_1$1 軸方向の伸縮を表す量を表します。 他のもの(${\epsilon^2}_2, {\epsilon^3}_3$)についても同様のことがいえます。
この意味で ${\epsilon^i}_j$ の対角成分は伸縮ひずみ(elongation-contraction)とか伸びひずみなどとといいます。

3.2非対角成分

次。 非対角成分。
${\epsilon^1}_2 = {\epsilon^2}_1 = \epsilon$ で、その他の成分はすべて 0 だとしましょう。 このとき、変形テンソルは同様に ${D^1}_2 = {D^2}_1 = \epsilon$ で、その他の成分は 0 ですから、変形ベクトルは、
\begin{equation} \begin{cases} \Delta r^1 = {D^1}_2 \Delta x^2 = \epsilon \Delta x^2 \\ \Delta r^2 = {D^2}_1 \Delta x^1 = \epsilon \Delta x^1 \\ \Delta r^3 = 0 \\ \end{cases} \end{equation}
(10)
となります。
これを図にすると以下のようになります。
ひずみテンソルの非対角成分
図を見て分かるように、${\epsilon^i}_j$ の非対角成分は弾性体が長方形から菱形になるような変形を表しているため、${\epsilon^i}_j$ の非対角成分はずれひずみ(shear strain)とかせん断ひずみ[3]などといいます。

さて、上で見たように変形テンソルの対称部分 ${\epsilon^i}_j$弾性体が実際に形を変えることを表している[4]ので、その意味で ${\epsilon^i}_j$ のことをひずみテンソルといいます。
なお「ひずみ」は漢字で「歪み」と書きます。 「歪みテンソル」と書いてあったとしても、「ゆがみてんそる」とは読みませんので注意してください。

[1]唐突ですみません(^^ 分けてみると巧くいくんですよ、これが
[2]任意の二階のテンソルは対称部分と反対称部分に分けることができる、というのはいいですよね?
[3]「せん」は、漢字では「剪」と書きます。難しいのでここではひらがなで
[4]なお、この後にやりますが、反対称部分 ${\Omega^i}_j$ はただの回転を表し、応力に影響を及ぼしません

4回転

次に変形テンソルの反対称部分 ${\Omega^i}_j$ について考えていきましょう。
${\Omega^1}_2 = -{\Omega^2}_1 =: \Omega$ とし、その他の成分についてはすべて 0 とします。 すると変形テンソルも同様に、${D^1}_2 = -{D^2}_1 = \Omega$ で、その他の成分はすべて 0 なので、変形ベクトルは、
\begin{equation} \begin{cases} \Delta r^1 = {D^1}_2 \Delta x^2 = \Omega \Delta x^2 \\ \Delta r^2 = {D^2}_1 \Delta x^1 = - \Omega \Delta x^1 \\ \Delta r^3 = 0 \\ \end{cases} \end{equation}
(11)
となります。
前と同じように、図にしてみるとこんな感じ。
回転
このように変形テンソルの反対称部分は物体の形は変えない回転を表しています。
なお、特に ${\Omega^i}_j$ には名前はついていないようですが、強いて付けるなら回転テンソル(rotation tensor)とかでしょうか。

5体積ひずみ

物体が変形をすると、一般的には体積も変わってしまいます。 そこで、物体が微小な変形をしたときにその体積がどのくらい増減するのかを調べてみましょう。

5.1変形後の体積

$\Delta x^1, \Delta x^2, \Delta x^3$ の長さの辺を持つ直方体が変形をした時の体積増加量を計算してみます。 いま、考える位置のずれ $\Delta x^i$ と変形 $\Delta r^i$ には線形の関係が成り立っている[1]ので、変形後には平行四面体になるはずです。
そこで、三点、
\begin{equation} \bm{x}_1 = \left(\begin{matrix} \Delta x^1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \end{equation}
(12)
\begin{equation} \bm{x}_2 = \left(\begin{matrix} 0 \\ \Delta x^2 \\ 0 \end{matrix}\right) \end{equation}
(13)
\begin{equation} \bm{x}_3 = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \Delta x^3 \end{matrix}\right) \end{equation}
(14)
が変形後にどの位置に移動するのかを考えます。
これは、変形テンソルの定義(4)式および(5)式から明らかなように、
\begin{equation} \bm{x}_1 = \left(\begin{matrix} (1+{D^1}_1)\Delta x^1 \\ {D^2}_1\Delta x^1 \\ {D^3}_1\Delta x^1 \end{matrix}\right) \end{equation}
(15)
\begin{equation} \bm{x}_2 = \left(\begin{matrix} {D^1}_2\Delta x^2 \\ (1+{D^2}_2)\Delta x^2 \\ {D^3}_2\Delta x^2 \end{matrix}\right) \end{equation}
(16)
\begin{equation} \bm{x}_3 = \left(\begin{matrix} {D^1}_3\Delta x^3 \\ {D^2}_3\Delta x^3 \\ (1+{D^3}_3)\Delta x^3 \end{matrix}\right) \end{equation}
(17)
となります。
従って変形後の体積 $V'$ は、
\begin{eqnarray*} V' & = & (\bm{x}_1 \times \bm{x}_2) \cdot \bm{x}_3 \\ & = & \left( \left(\begin{matrix} (1+{D^1}_1)\Delta x^1 \\ {D^2}_1\Delta x^1 \\ {D^3}_1\Delta x^1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} {D^1}_2\Delta x^2 \\ (1+{D^2}_2)\Delta x^2 \\ {D^3}_2\Delta x^2 \end{matrix}\right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} {D^1}_3\Delta x^3 \\ {D^2}_3\Delta x^3 \\ (1+{D^3}_3)\Delta x^3 \end{matrix}\right) \\ & = & \left( \left( \left(\begin{matrix} 1+{D^1}_1 \\ {D^2}_1 \\ {D^3}_1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} {D^1}_2 \\ 1+{D^2}_2 \\ {D^3}_2 \end{matrix}\right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} {D^1}_3 \\ {D^2}_3 \\ 1+{D^3}_3 \end{matrix}\right) \right) V \\ & = & \left( \left(\begin{matrix} -{D^3}_1 \\ -{D^3}_2 \\ 1+{D^1}_1+{D^2}_2 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} {D^1}_3 \\ {D^2}_3 \\ 1+{D^3}_3 \end{matrix}\right) \right) V \\ & = & \left(1 + {D^1}_1 + {D^2}_2 + {D^3_3}\right) V \\ & = & \left( 1 + \sum_i {D^i}_i \right) V \end{eqnarray*}
(18)
です。 ただし途中で変形テンソルは十分小さいとして、変形テンソルの二次以上の項を無視しました。

5.2体積ひずみ

従って、体積変化量は、
\begin{equation} \Delta V = V' - V = \left( \sum_i {D^i}_i \right) V \end{equation}
(19)
となり、ここで、
\begin{equation} \\{\epsilon^i}_i = \frac{1}{2} ({D^i}_i + {D^i}_i) = {D^i}_i \end{equation}
(20)
を用いれば、
\begin{equation} \Delta V = \left( \sum_i {\epsilon^i}_i \right) V \end{equation}
(21)
となります。 もしくは、変形テンソルの定義に戻って、
\begin{equation} \sum_i {D^i}_i = \sum_i \frac{\partial r^i}{\partial x^i} = \diver \bm{r} \end{equation}
(22)
なので、
\begin{equation} \Delta V = (\diver \bm{r}) V \end{equation}
(23)
となります。
そこでこの、
\begin{equation} \frac{\Delta V}{V} = \sum_i {\epsilon^i}_i = \diver \bm{r} \end{equation}
(24)
を、体積ひずみ(volume dilatation)といいます。

5.3伸縮ひずみとの関係

ところで、伸縮ひずみのみが存在した場合の体積変化量は、
\begin{eqnarray*} \Delta V_{\text{elong}} & = & \prod_i (1 + {\epsilon^i}_i) \Delta x^i - \prod_i \Delta x^i \\ & = & \left( \sum_i {\epsilon^i}_i \right) V \end{eqnarray*}
(25)
となり、上で計算した結果と同じになります。
つまり、ずれひずみや回転の分の体積変化量は 0 であり、伸縮ひずみによる増加量は全体の体積増加量に一致するということが分かります。

[1]$\Delta x^i$ が微小なので線形だとしたのですよね