$ \DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh} \DeclareMathOperator{\arcsinh}{arcsinh} \DeclareMathOperator{\rank}{rank} \DeclareMathOperator{\rot}{rot} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\diver}{div} $

Hamilton の正準運動方程式

Lagrange の運動方程式は、
\begin{eqnarray*} L & = & L(q, \dot{q}, t) \\ & = & T - V \end{eqnarray*}
(1)
として、
\begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \end{equation}
(2)
というものでした。
これは、一般化座標 $q$ と、一般化速度 $\dot{q}$ による、時間 $t$ に関する2階の微分方程式でした。
しかし独立変数を、一般化速度の替わりに、一般化運動量 $p$ を用いることを考えると、もう少しきれいな形の方程式を得ることができます。

1Hamiltonian

上にも書きましたが、一般化座標 $q$ と一般化速度 $\dot{q}$ によって表された運動方程式を、 一般化座標 $q$ と一般化運動量 $p$ の方程式に変換することを考えます。
まず、 Lagrangean L の全微分をとってみると、
\begin{eqnarray*} dL & = & \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt \\ & = & \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + p_id\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt \end{eqnarray*}
(3)
となりますが、第二項が邪魔なので、
\begin{equation} H := p_i\dot{q}_i - L \end{equation}
(4)
とおいてあげるとうまくいきそうです[1]。 実際、
\begin{eqnarray*} dH & = & dp_i\dot{q}_i + p_id\dot{q}_i - \left(\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + p_id\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt\right) \\ & = & -\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + \dot{q}_idp_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \end{eqnarray*}
(5)
と、$H$ は、$(q, p, t)$ を独立変数とする物理量となります。 この $H$ のことを、Hamiltonian といいます。

[1]このように適当な変数を足したり引いたりして独立変数を取り替える操作を Legendre 変換 といいます

2Hamilton の正準運動方程式

まず、Lagrange の運動方程式から、
\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial q_i} & = & \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \\ & = & \frac{dp_i}{dt} \\ & = & \dot{p}_i \end{eqnarray*}
(6)
に注意すれば、 (5)式 により、以下の3つの方程式が得られます。
\begin{eqnarray*} \frac{\partial H}{\partial q_i} & = & -\frac{\partial L}{\partial q_i} \\ & = & -\dot{p}_i \\ \frac{\partial H}{\partial p_i} & = & \dot{q}_i \\ \frac{\partial H}{\partial t} & = & - \frac{\partial L}{\partial t} \end{eqnarray*}
(7)
これら3つの方程式をあわせて、(Hamiltonの)正準運動方程式 [1]と呼びます。
なお、一番最後の、
\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \end{equation}
(8)
というのは、運動方程式ではなく、Hamiltonian という物理量と Lagrangean という物理量の (時間に関する) 対応関係を示しているのに過ぎないので、 多くの教科書では前の二つのみを正準運動方程式といっているようです。
\begin{eqnarray*} \frac{\partial H}{\partial q_i} & = & - \dot{p}_i \\ \frac{\partial H}{\partial p_i} & = & \dot{q}_i \\ \end{eqnarray*}
(9)
これら2つの方程式は一般化座標 $q_i$、および一般化運動量 $p_i$ の変化具合を表している、 つまり運動の記述をしている方程式であり、最後の式とはその意味で異なる存在です。

[1]英語では、canonical equation of motionとか、少し省略して、canonical equationなどと呼ぶ

3正準変換

前回、 Lagrange の運動方程式は任意の座標変換に対してその形を変えないことを証明しましたが、 今回はより一般的な変換について考えます。

3.1正準変換とは

正準変換 (canonical transformation) とは、Hamilton の正準運動方程式の形を変えないような変換のことを表します。
つまり、
\begin{eqnarray*} \{\bm{p}, \bm{q}\} \rightarrow \{\bm{P}, \bm{Q}\} \end{eqnarray*}
(10)
なる変換において、ある函数、
\begin{equation} K = K(P, Q) \end{equation}
(11)
が存在して、
\begin{eqnarray*} \dot{P}_i & = & - \frac{\partial K}{\partial Q_i} \\ \dot{Q}_i & = & \frac{\partial K}{\partial P_i} \end{eqnarray*}
(12)
を満たすような変換のことを言います[1]

3.2前との違い

一般の座標変換に対して Langrange の運動方程式はその形を変えない、ということを以前説明しました。 正準運動方程式も Lagrange の運動方程式と同等なので、こちらも一般の座標変換に対し形を変えません。
ところで前回行った座標変換は、
\begin{eqnarray*} q_1 & := & q_1 (x_1, \cdots, x_{3N}) \\ q_2 & := & q_2 (x_1, \cdots, x_{3N}) \\ \vdots & := & \hspace{3em} \vdots \\ q_{3N} & := & q_{3N}(x_1, \cdots, x_{3N}) \end{eqnarray*}
(13)
および、
\begin{eqnarray*} \dot{q}_1 & := & \dot{q}_1 (x_1, \cdots, x_{3N}, \dot{x}_1, \cdots, \dot{x}_{3N}) \\ \dot{q}_2 & := & \dot{q}_2 (x_1, \cdots, x_{3N}, \dot{x}_1, \cdots, \dot{x}_{3N}) \\ \vdots\hspace{0.5em} & := & \hspace{5em} \vdots \\ \dot{q}_{3N} & := & \dot{q}_{3N}(x_1, \cdots, x_{3N}, \dot{x}_1, \cdots, \dot{x}_{3N}) \end{eqnarray*}
(14)
という感じで、座標と運動量に対して非対称な変換でした。
そこで、今回は座標と運動量に対し対等に、
\begin{eqnarray*} Q_1 & := & Q_1(q_1, \cdots, q_N, p_1, \cdots, p_N) \\ \vdots & := & \hspace{3em} \vdots \\ Q_N & := & Q_N(q_1, \cdots, q_N, p_1, \cdots, p_N) \end{eqnarray*}
(15)
および、
\begin{eqnarray*} P_1 & := & P_1(q_1, \cdots, q_N, p_1, \cdots, p_N) \\ \vdots & := & \hspace{3em} \vdots \\ P_N & := & P_N(q_1, \cdots, q_N, p_1, \cdots, p_N) \end{eqnarray*}
(16)
という対称性のある変換を考えます。 新しい座標が前の座標系での運動量に依存するというのは何とも奇妙な話ですが、 ここまでくるともう物理的な意味がほとんど失われているので、まぁただの数学遊びだぐらいに思ってもらって結構です [2]

3.3正準運動方程式は変わってしまう

前回はうまくいきましたけど、今回の変換では変換のやり方によっては正準運動方程式は変わってしまうことがあるらしいです。
何か例を…と思ったのですが、なにやら思いつかないので、「だめな変換もあるのか…」ということだけ頭に入れておいてください。
そこで以降では正準変換が成り立つ条件を考えていきたいと思います。
/* 例えば、傾斜 45° の斜面上を運動する物体を考えます。 Lagrangian は、
\begin{equation} L = \frac{1}{2} m\dot{x}^2 - mgx \end{equation}
(17)
であり、座標変換は、
\begin{eqnarray*} P & = & q \\ & = & x \\ Q & = & p \\ & = & \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \\ & = & m\dot{x} \end{eqnarray*}
(18)
とします。
このとき新しい座標系での Hamiltonian $K$ は、
\begin{eqnarray*} K & = & P\dot{Q} - L \\ & = & mx\ddot{x} - L \end{eqnarray*}
(19)
従って、
\begin{eqnarray*} \frac{\partial K}{\partial P} & = & \frac{\partial K}{\partial x} \\ & = & m\ddot{x} + mg \\ & = & \dot{Q} + mg \end{eqnarray*}
(20)
と定数項 $mg$ が現れ一致しません。 */

3.4母函数による正準変換

なので変数変換がうまくいくようにするには何らかの必要条件を持ってきて、その条件が成り立つ上での変換を考えたいと思います。

3.4.1Hamiltonian の原理の書き換え

Hamilton の原理は、
\begin{equation} \delta \int L dt = 0 \end{equation}
(21)
というものでした。 これを Lagrangian ではなく、 Hamiltonian を用いて書き換えると、
\begin{eqnarray*} H & = & p_i \dot{q}_i - L \\ \therefore L & = & p_i \dot{q}_i - H \end{eqnarray*}
(22)
なので、
\begin{equation} \delta \int (p_i\dot{q}_i - H) dt = 0 \end{equation}
(23)
となります。

3.4.2母函数の導入

今、新旧両方の座標に対し、
\begin{eqnarray*} \delta \int (p_i\dot{q}_i - H) dt & = & 0 \\ \delta \int (P_i\dot{Q}_i - K) dt & = & 0 \end{eqnarray*}
(24)
が成り立ちます。 ただし、$K$ は新しい座標系で表した Hamiltonian です[3]
上の式から、
\begin{equation} \delta \int \left( \lambda(p_i\dot{q}_i - H) - (P_i\dot{Q}_i - K) \right) dt = 0 \end{equation}
(25)
が成り立つはずです ($\lambda$ はある定数) 。
こうなるためには、()内が恒等的に 0 となる、というのも一つの条件ですが、もっと一般的に、ある函数 $W$ が存在して、
\begin{equation} \lambda(p_i\dot{q}_i - H) - (P_i\dot{Q}_i - K) = \frac{dW}{dt} \end{equation}
(26)
という形でかけることが必要かつ十分な条件であることが分かります。 なぜなら、
\begin{eqnarray*} \delta \int_A^B \frac{dW}{dt} dt & = & \delta \int_A^B dW \\ & = & \delta \left( W|_B - W|_A \right) \\ & = & 0 \end{eqnarray*}
(27)
となるからです(必要性)。 ただし、最後の変形は端点条件によるものです[4]
逆にこのような形でかけない場合には、積分後に経路に依存する何らかの物理量が残ってしまい、恒等的に$0$にはなり得ません(十分性)。
二つの座標系の間を対応づける函数 $W$ のことを母函数 (generating function) といいます。
ところで $\lambda$ は座標間の長さのスケールが定数倍の変化をすることを示しているのにすぎない[5]ので、 普通は、
\begin{equation} \lambda = 1 \end{equation}
(28)
としてしまいます。 以下でもこれを仮定します。

3.4.3母函数は何の函数?

(26)式 を変形すると、
\begin{eqnarray*} (p_i\dot{q}_i - H) - (P_i\dot{Q}_i - K) & = & \frac{dW}{dt} \\ dW & = & p_i dq_i - P_i dQ_i - (H - K) dt \end{eqnarray*}
(29)
となるので、
\begin{equation} W = W(q, Q, t) \end{equation}
(30)
となっています。 このときには係数比較から、
\begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial W}{\partial q_i} & = p_i \\ \frac{\partial W}{\partial Q_i} & = - P_i \\ \frac{\partial W}{\partial t} & = - (H-K) \\ \end{cases} \end{equation}
(31)
を得ることができます。

3.4.4他にもある

上では $W=W(q,Q,t)$ でしたが、他にも $W=W(p,P,t)$ とか $W=W(p,Q,t)$ といった函数も母函数として採用できます。
$W=W(q,P,t)$
(26)式に代入するために、
\begin{equation} W' := -P_iQ_i + W \end{equation}
(32)
と Legendre 変換してあげることで、(26)式は、
\begin{eqnarray*} p_i\dot{q}_i - H & = & P_i\dot{Q}_i - K - Q_i\dot{P}_i P_i\dot{Q}_i +\frac{dW}{dt} \\ & = & -Q_i\dot{P}_i - K + \frac{dW}{dt} \end{eqnarray*}
(33)
なので前と同様に係数比較から、
\begin{eqnarray*} p_i & = & \frac{\partial W}{\partial q_i} \\ Q_i & = & \frac{\partial W}{\partial P_i} \\ K & = & H + \frac{\partial W}{\partial t} \end{eqnarray*}
(34)
$W=W(p,Q,t)$
同様に、
\begin{equation} W' := p_iq_i + W \end{equation}
(35)
と Legendre 変換してあげることで、(26)式は、
\begin{equation} -q_i\dot{p}_i - H = -P_i\dot{Q}_i - K + \frac{dW}{dt} \end{equation}
(36)
より、
\begin{eqnarray*} q_i & = & -\frac{\partial W}{\partial p_i} \\ P_i & = & -\frac{\partial W}{\partial Q_i} \\ K & = & H + \frac{\partial W}{\partial t} \end{eqnarray*}
(37)
$W=W(p,P,t)$
\begin{equation} W' := p_iq_i - P_iQ_i + W \end{equation}
(38)
と Legendre 変換すると、
\begin{equation} -q_i\dot{p}_i - H = -Q_i\dot{P}_i - K + \frac{dW}{dt} \end{equation}
(39)
より、
\begin{eqnarray*} q_i & = & -\frac{\partial W}{\partial p_i} \\ Q_i & = & \frac{\partial W}{\partial P_i} \\ K & = & H + \frac{\partial W}{\partial t} \end{eqnarray*}
(40)
$W=W(p,q,t), W=W(P,Q,t)$
愚直に考えるとこのような母函数もとれる気もしますが、これは失敗します (この形に Legendre 変換できません) 。
よくわかりませんけど、旧変数だけを含む式では情報が少なすぎて新旧両方の変数を含む式には変形できない、ということでしょうか…?
$W=W(p,q,P,Q,t)$
新旧両方の変数を含んでいれば母函数として採用できるっぽいので、当然このような函数も適切に Legendre 変換してあげれば、母函数として採用できます。
…が、かなり複雑になるらしいので、やめておきます。

3.4.5恒等変換

これで正準変換ができるようになったので、ちょっと正準変換をしてみましょう。
母函数として、
\begin{equation} W(q, P) := q_iP_i \end{equation}
(41)
を採用すれば、(34)式から、
\begin{eqnarray*} p_i & = & P_i \\ q_i & = & Q_i \\ K & = & H \end{eqnarray*}
(42)
を得ます。
変換をしても何も変わらなかったので、この変換を 恒等変換(identity transformation) といいます。

3.5母函数が時間に陽に依存しない場合

上で見たように、母函数 $W$ の引数が何であれ、 $W$ が時間に陽に依存しなければ、
\begin{equation} K \equiv H \end{equation}
(43)
となることが分かります。
「陽に依存しない」(have no explicit dependence) とは何とも奇妙な日本語ですが、これは、
\begin{equation} W = W(p, q) \end{equation}
(44)
といった具合に引数に直接 $t$ をとらないことを意味します。
なぜ「陽に」とかつけるのかというと、 $W$ の引数である $q, p$ は時間に依存するので、$W$ は実は時間依存な物理量ですので、 単に「時間に依存しない」というとどちらの意味なのか ($\frac{dW}{dt} \equiv 0$ なのか $\frac{\partial W}{\partial t} \equiv 0$ なのか) 混乱してしまうからです。
ところでいま $(q,p) \rightarrow (Q,P)$ という変換を考えており、変換に時間が絡んでいないので、$W$ は時間非依存にできるハズです[6]。 従って、今回の変換ではこのことは必ず成り立ちます。

3.6正準変換の直接条件

母函数を使った正準変換はなんというか母函数というよく分からない函数を使っているのですごく間接的で分かりにくい感じがしたと思います。
そこでもっと直接的に、正準方程式が成り立つような座標変換の条件を調べてみましょう。
Hamilton の正準運動方程式より、
\begin{eqnarray*} \dot{p}_i & = & -\frac{\partial H}{\partial q_i} \\ \dot{q}_i & = & \frac{\partial H}{\partial p_i} \end{eqnarray*}
(45)
正準変換は正準方程式の成り立つような変換ですので、
\begin{eqnarray*} \dot{P}_i & = & -\frac{\partial K}{\partial Q_i} \\ \dot{Q}_i & = & \frac{\partial K}{\partial P_i} \end{eqnarray*}
(46)
が成り立ってほしい訳です。
ところで前の議論から Hamiltonian が preserve することが分かったので、
\begin{eqnarray*} \dot{P}_i & = & -\frac{\partial H}{\partial Q_i} \\ \dot{Q}_i & = & \frac{\partial H}{\partial P_i} \end{eqnarray*}
(47)
が成り立ってくれれば正準変換の条件は満たされたことになります。
ここで、
\begin{eqnarray*} \frac{dQ_i}{dt} & = & \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial t} + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial p_j}{\partial t} \\ & = & \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial q_j} \end{eqnarray*}
(48)
であり[7]
\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial P_i} = \frac{\partial H}{\partial p_j} \frac{\partial p_j}{\partial P_i} + \frac{\partial H}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial P_i} \end{equation}
(49)
となりますが、この二つの式が同じであることが (47)式 の正準変換の条件の一つですので、両者を比較すると、
\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} & = & \frac{\partial p_j}{\partial P_i} \\ \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} & = & -\frac{\partial q_j}{\partial P_i} \end{eqnarray*}
(50)
を得ます。
$\dot{P}_i = -\frac{\partial H}{\partial Q_i}$ に関しても同様に計算を行うことで、
\begin{eqnarray*} \frac{\partial P_i}{\partial q_j} & = & -\frac{\partial p_j}{\partial Q_i} \\ \frac{\partial P_i}{\partial p_j} & = & \frac{\partial q_j}{\partial Q_i} \end{eqnarray*}
(51)
となります。
この四つの式を 正準変換の(直接)条件(direct conditions) といいます[8]

[1]より一般に時間も含んだ変換、$\{q, p, t\} \rightarrow \{Q, P, t\}$ というものを考えることもありますが、ここではこのような変換は取り上げません
[2]モノによっては物理的意味が存在するかもしれません
[3]なんか H が Hamiltonian なんだから、 K は Kamiltonian だっ!とか言っている人がいるらしいです。…どうでもいいですね、ハイ
[4]$\delta$ は「経路を変化させたときにどうなるか」を表す演算なので、端点は固定していたのでした
[5]つまり、$\lambda = 2$ の時には $\lambda = 1$ の時に比べて旧変数を $\sqrt{2}$ 倍した値が新変数になるだけです
[6]証明とかよくわかr(ry
[7]最後の変形は正準運動方程式を使っています。念のため
[8]この名称は一般的ではありません。「direct condition」でググっても 3 件ぐらいしかヒットしないし…